cinthia arlette: calculo limite

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE FRONTERA COMALAPA

CATEDRATICO:

LEON JUAREZ MONICA LAURENT

ALUMNA:

RAMIREZ CALDERON CINTHIA ARLETTE

MATERIA:

CALCULO DIFERENCIAL

CARRERA:

ING. EN SISTEMAS COMPUTACIONALES

1º SEMESTRE

FRONTERA COMALAPA CHIAPAS, A 02 noviembre del 2015

limite

En matemática, el límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. El límite de una función es un concepto fundamental del cálculo diferencial matemático.

Informalmente, el hecho que una función f tiene un límite L en el punto p, significa que el valor de f puede ser tan cercano a L como se desee, tomando puntos suficientemente cercanos a p, pero distintos de p.

En análisis real para funciones de una variable, se puede hacer una definición de límite similar a la de límite de una sucesión, en la cual, los valores que toma la función dentro de un intervalo se van aproximando a un punto fijado c, independientemente de que éste pertenezca al dominio de la función. Esto se puede generalizar aún más a funciones de varias variables o funciones en distintos espacios métricos.

Informalmente, se dice que el límite de la función f(x) es L cuando x tiende a c, y se escribe:

$\lim_{x\to c} \, \, f(x) = L$

si se puede encontrar para cada ocasión un x suficientemente cerca de c tal que el valor de f(x) sea tan próximo a L como se desee.

Para un mayor rigor matemático se utiliza la definición épsilon-delta de límite, que es más estricta y convierte al límite en una gran herramienta del análisis real. Su definición es la siguiente:

"El límite de f(x) cuando x tiende a c es igual a L si y sólo si para todo número real ε mayor que cero existe un número real δmayor que cero tal que si la distancia entre x y c es menor que δ, entonces la distancia entre la imagen de x y L es menor que εunidades".

Esta definición, se puede escribir utilizando términos lógico-matemáticos y de manera compacta:

$\begin{array}{l} \underset {x\to c}{\lim} \, \, f(x) = L \iff \forall \varepsilon > 0 \ \ \exists \ \delta > 0 : 0<|x-c|<\delta \longrightarrow |f(x)-L|<\varepsilon \end{array}$

Si f(x) y g(x) son funciones de variable real y k es un escalar, entonces, se cumplen las siguientes propiedades o reglas:

FUNCIONES CONTINUAS Y DISCONTINUAS

DEFINICION DE FUNCION

Para definir y comprender el tema de funciones continúas y discontinuas se realizara una pequeña introducción a lo que se conoce como una función:

Con frecuencia, en las aplicaciones prácticas el valor de una variable depende del valor de otra. Por ejemplo, el salario de una persona puede depender del número de horas que trabaje; la producción total de una fábrica puede depender del número de máquinas que se utilicen; la distancia recorrida por un objeto puede depender del tiempo transcurrido desde que salió de un punto específico; el volumen del espacio ocupado por un gas a presión constante depende de su temperatura; la resistencia de un cable eléctrico de longitud fija depende de su diámetro; etc. La relación entre este tipo de cantidades suele expresarse mediante una función.

Entonces una función puede considerarse como una correspondencia de un conjunto X de números Reales (x) a un conjunto Y de números Reales (y), donde el numero (y) es único para cada valor especifico de (x).

1.1 GRAFICAS DE FUNCIONES EN COORDENADAS RECTANGULARES

Un sistema de coordenadas rectangulares (o cartesianas) nos permite especificar y localizar puntos en un plano. También nos proporciona una manera geométrica para representar ecuaciones de dos variables, así como funciones.

En un plano se trazan dos rectas de números reales, llamadas ejes de coordenadas, perpendiculares entre sí, y de modo que sus orígenes coincidan, como en la figura 3.7.Su punto de intersección se llama origen del sistema de coordenadas. Por ahora llamaremos a la recta horizontal el eje x y a la vertical el eje y. La distancia unitaria sobre el eje x no necesariamente es la misma que la del eje y.

El plano sobre el cual están los ejes de coordenadas se llama plano de coordenadas rectangulares o, simplemente, plano x, y. Todo punto en él puede marcarse para indicar su posición.

2. FUNCIONES CONTINUAS Y DISCONTINUAS

Muchas funciones tienen la propiedad de que no hay "cortes" en sus gráficas. Por ejemplo, compare las funciones:

Cuyas gráficas aparecen en las figuras 9.23 y 9.24, respectivamente. Cuando x = 1, la gráfica de f no se corta, pero la de g sí tiene un corte.

Poniéndolo de otra manera, si tuviera que trazar ambas gráficas con un lápiz, tendría que levantar el lápiz de la gráfica de g, cuando x = 1, pero no lo tendría que levantar de la gráfica de f. Estas situaciones pueden expresarse por medio de límites.

Cuando x se aproxima a 1, compare el límite de cada función con el valor de la función en x = 1.

Mientras que

El límite de f cuando x —> 1 es igual a f (1), pero el límite de g cuando x —> 1 no es igual a g (1). Por estas razones decimos que f es continua en 1 y g discontinua en 1.

3. FUNCIONES CONTINUAS O CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN

3.1.1. Concepto

En esencia, una función es continua si su gráfica es una línea seguida, no interrumpida.

La definición matemática de continuidad comprende las propiedades de los límites. En la definición de límite el valor de no se especifica; es decir este límite depende únicamente de los valores de en la vecindad de (o sea, cerca de), pero no en el valor de .

Por consiguiente, puede ser o no ser igual a.

Si existe, y también existe el valor de, siendo igual a, entonces es continua en.

Es decir, se dice que una función es continua en si:

Entonces se puede decir que una función f (X) es continua en (o sobre) un intervalo (o bien) si es continua en cada punto del intervalo en cuestión.

De la definición de continuidad se deduce que la gráfica de una función que es continua en un intervalo, es una línea ininterrumpida(es decir, una que se puede trazar sin levantar la pluma o lápiz del papel) sobre el espacio de ese intervalo, o también se hace posible trazar una curva con sólo situar unos pocos puntos y dibujar una línea con trazo ininterrumpido pasando por ellos, se justificará en el caso de varias clases de curvas.

Decimos también que una función es continua en un intervalo si es continua en cada punto de ese intervalo. En esta situación, la gráfica de la función es conexa sobre el intervalo por ejemplo, f(x) = x2 es continua en el intervalo [2,5], porque para cualquier función polinomial .

Esto significa que UNA FUNCION POLINOMIAL ES CONTINUA EN TODO PUNTO.

Se concluye que tal función es continua en todo intervalo. Decimos que las funciones polinomiales son continuas en todas partes, o de manera más sencilla, que son continuas.

3.1.4 Propiedades de las funciones continuas

Dadas las funciones f y g continuas en x = a, se verifica que:

la función (f + g) (x) = f(x) + g(x) es continua en x = a.

la función (f - g) (x) = f(x) - g(x) es continua en x = a.

la función (f × g) (x) = f(x) × g(x) es continua en x = a.

la función (f / g) (x) = f(x) / g(x) es continua en x = a, siempre que g(a) ≠ 0.

Estas propiedades son consecuencia directa de las propiedades de los límites.

3.1.5. Continuidad de funciones elementales

3.1.6. Continuidad de la función compuesta

4. FUNCIONES DISCONTINUAS O DISCONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN

Concepto y tipos de discontinuidad

Con respecto a lo anterior podemos decir que una función es discontinua cuando, una función f definida en un intervalo abierto que contenga aɑ es discontinua en ɑ si:

f no tiene limite cuando x —> ɑ

cuando x —> ɑ, f tiene un límite diferente de f(ɑ)

si f no está definida en ɑ, no es continua allí. Sin embargo, si f no está definida en ɑ pero si está definida para todos los valores cercanos, entonces no solo no es continua en ɑ, es discontinua allí.

Discontinuidades de una función racional

Una función racional es discontinua en los puntos donde el denominador es 0, y es continua en cualquier otra parte.

Bibliografía

Ernest F. Haeussler, Jr., Richard S. Paul, (2003) MATEMÁTICAS PARA ADMINISTRACIÓN Y ECONOMÍA; Decima edición. PEARSON EDUCACION.

Louis Leithold (1998), EL CÁLCULO (traducido al español, nombre original “THE CALCULUS 7” con fecha de 1994); séptima edición. OXFORD UNIVERSITY PRESS-HARLA MEXICO.

Fernando Alcaide (2009), CODIGO MATEMATICAS 11, EDICIONES SM.

Las asíntotas verticales

son rectas verticales a las cuales la función se va acercando indefinidamente sin llegar nunca a cortarlas.

Las asíntotas verticales son rectas de ecuación: x = k.