INSTITUTO TECNOLÓGICO DE FRONTERA COMALAPA

CATEDRATICO:

LEON JUAREZ MONICA LAURENT

ALUMNA:

RAMIREZ CALDERON CINTHIA ARLETTE

MATERIA:

CALCULO DIFERENCIAL

CARRERA:

ING. EN SISTEMAS COMPUTACIONALES

1º SEMESTRE

FRONTERA COMALAPA CHIAPAS, A 13 DE DICIEMBRE DE 2015

Recta tangente y recta normal a una curva en un punto. Curvas ortogonales.

APLICACIONES DE LA DERIVADA

Recta tangente y recta normal a una curva en un punto. Curvas ortogonales

PENDIENTE DE LA TANGENTE A LA CURVA:

Una tangente a una curva es una recta que toca la curva en un solo punto y tiene la misma pendiente que la curva en ese punto.

Es igual al valor de la derivada en cualquier punto.Se representa matemáticamente:

PENDIENTE DE LA NORMAL A LA CURVA:

Una normal a una curva es una recta que es perpendicular a la tangente de la curva. La tangente y la normal en un mismo punto en cualquier superficie siempre son perpendiculares entre sí.

Es igual a la reciproca de la pendiente de la tangente a la curva. Se representa matemáticamente:

Curvas Ortogonales

Curvas ortogonales

Una tangente a una curva es una recta que toca la curva en un solo punto y tiene la misma pendiente que la curva en ese punto. Una normal a una curva es una recta que es perpendicular a la tangente de la curva. La tangente y la normal en un mismo punto en cualquier superficie siempre son perpendiculares entre sí.

Diferentes soluciones se pueden utilizar para encontrar la ecuación de la tangente de cualquier curva y = g(x) en los puntos x1, y1. La pendiente de la tangente a la curva y = g(x) en los puntos x1, y1 está dada por g‘(x1),es decir, el valor de la primera derivada de la función en x1, y1.

La ecuación requerida para esta tangente se puede encontrar en la ecuación de la recta y-y1 = m (x - x1).

Así, la ecuación de la tangente en x1, y1 se puede dar como y - y1 = g (x1) (x - x1).

Ahora bien, dado que respecto ala normalla tangente es perpendicular , su pendiente es el recíproco negativo de la pendiente de la tangente así como la pendiente de dos rectas perpendiculares son recíprocas negativas una dela otra.

Por tanto, la pendiente de la normal a la curva y = g(x) en los puntos x1, y1 es −1/g’(x1), donde g’(x1) ≠ 0.

Por lo tanto, la ecuación de la normal a la curva es dada como y – y1 = - (1/g’(x1)) (x – x1).

Si una recta tangente a la curva y = g(x) forma un ángulo Ө con el eje x en una dirección positiva, entonces la pendiente de la tangentes es igual a tan Ө.

Por tanto, la ecuación de la tangente puede ser escrita también como y – y1 = tan Ө (x – x1).

El concepto de tangente y normal contiene dos casos especiales:

1). Si la pendiente de la recta tangente es 0, entonces la recta tangente es paralela al eje x.

En tales casos, la ecuación de la tangente en el punto x1, y1 es y = y1.

2). Si la tangente es perpendicular al eje x, entonces en ese caso, la pendiente tiende al infinito y la recta tangente es paralela al eje y.

La ecuación se convierte entonces en x = x1.

Otro término importante asociado con el concepto de curva es el de las curvas ortogonales.

Cuando dos o más curvas se intersectan perpendicularmente entre sí, entonces se les conoce como curvas ortogonales.

Las tangentes de las curvas ortogonales son perpendiculares entre sí.

Además, el producto de sus pendientes es −1.

Estas propiedades pueden ser muy útiles para la determinación de curvas ortogonales.

Por ejemplo: Supongamos la recta y = (1 +

) x y la recta y = (1 -

) x

Encuentre la pendiente de y = (1 +

)x, obtenemos

dy/dx = d((1 +

)x) / dx

= 1 +

Del mismo modo, para la recta y = (1 -

)x, la pendiente resulta ser 1 -

Multiplicando la pendiente de estas dos rectas, obtenemos

m1.m2 = (1 +

). (1 -

)

 m1.m2 = - 1

Por tanto, estas dos rectas se dice que son ortogonales, es decir, se intersectan entre sí en ángulo de 90 °.

Teorema de Rolle

En cálculo diferencial, el teorema de Rolle demuestra la existencia de un punto interior en un intervalo abierto para el cual la derivada de una función derivable se anula cuando el valor de ésta en los extremos del intervalo es el mismo. Es generalizado mediante el teorema del valor medio, del que este es un caso especial. Es uno de los principales teoremas en cálculo debido a sus aplicaciones.

Se puede enunciar de la siguiente manera,

Si $\ f$ es una función continua definida en un intervalo cerrado $\ [a, b]$ , derivable sobre el intervalo abierto $\ (a, b)$ y $\ f\left(a\right) = f\left(b\right)$ , entonces:

Existe al menos un punto $\ c$ perteneciente al intervalo $\ (a, b)$ tal que $\ f'(c) = 0$ .

Se sabe que existen tres posibilidades, o bien la función que consideramos es constante, o bien tiene algún punto x donde el valor de la función es mayor o bien este valor es menor que en los extremos. Para el primer caso es trivial que en algún punto la función tiene derivada nula (en la definición de derivada el cociente incremental es cero).

Gracias a la continuidad de f, la imagen de [a, b], es un conjunto conexo de R, y por lo tanto es un intervalo, el intervalo imagen.
La imagen por una función continua de un conjunto compacto es un conjunto compacto, y por lo tanto el intervalo imagen es cerrado y de longitud finita: es de la forma [m, M], con m el valor mínimo de f y M su valor máximo.
Si m = M , la función es constante, y cualquier punto c de (a, b) conviene. Descartado este caso, m ≠ M significa que uno de los dos no es igual a f(a) = f(b). Supongamos que sea M. Entonces M > f(a) = f(b), y por lo tanto el máximo M está alcanzado en el interior del intervalo.
Sea c en [a, b] tal que f(c) = M. Por definición del máximo, M = f(c) ≥ f(x) para todo x de [a, b]. Entonces el cociente (f(c) - f(x)) / (c - x) es positivo cuando x < c (porque su numerador es siempre positivo y su denominador es positivo no nulo), y es negativo cuando x > c (el denominador se vuelve negativo no nulo). Pero f'(c) es por definición el límite de este cociente cuandox tiende hacia c. El límite por la izquierda, f '(c^-), tiene que ser igual al límite por la derecha, f '(c⁺). Por lo tanto este límite común es nulo, o sea f '(c) = 0.

La demostración es muy similar si es el mínimo que está alcanzado en (a, b).

Demostración gráfica

En el siguiente gráfico se observan las tres condiciones: la función es continua en el intervalo cerrado [a,b], es derivable y los valores que toma la función en los puntos a y b son iguales, es decir, f(a) = f(b). Existe, por lo tanto, al menos un punto c que pertenece al intervalo abierto (a,b) en el cual la derivada de la función es igual a cero. Vale observar que c es distinto de a y de b. No debemos confundir c con f(c), que sí puede ser igual a f(a) y f(b).

En la ilustración se ve una función constante, pero el teorema no sólo se cumple en este caso. Se pueden dar tres casos en los que f(c) es distinto de f(a) y f(b), a saber:

Caso 1. El punto máximo es igual a f(a) y f(b) y el punto mínimo es distinto de ambos, lo cual implica que la curva es cóncava hacia arriba. El punto mínimo es m = f(c), y la derivada de la función en este punto es 0.

Ilustración del Teorema de Rolle (caso 1), donde el punto mínimo es distinto de f(a) y el punto máximo es igual a f(a).

Caso 2. El punto mínimo es igual a f(a) y f(b) y el punto máximo es distinto de ambos, lo cual implica que la curva es cóncava hacia abajo (o convexa). El punto máximo es M = f(c), y la derivada de la función en este punto es 0.

Ilustración del Teorema de Rolle (caso 2), donde el punto mínimo es igual f(a) y el punto máximo es distinto de f(a).

Caso 3. Tanto el punto mínimo como el punto máximo son distintos a f(a) y f(b). Esto significa que dentro del intervalo cerrado [a, b] la función alcanza un punto máximo M = f(c₂) mayor al valor de la función en los extremos a y b y un punto mínimo m = f(c₁) menor a los mismos. Tanto en el punto máximo como en el punto mínimo, la derivada de la función es nula. Es decir, f '(c₁) = 0 y f '(c₂) = 0.

Ilustración del Teorema de Rolle (caso 3), donde el punto mínimo es distinto de f(a) y el punto máximo también es distinto a f(a).

FUNCIÓN CRECIENTE Y DECRECIENTE

· Una función es creciente en un intervalo [a,b] si al tomar dos puntos cualesquiera del mismo, x₁y x₂, con la condición x₁ £ x₂, se verifica que

f( x₁ ) < f( x₂ ).

Se dice estrictamente creciente si de x₁ < x₂ se deduce que f(x₁) < f(x₂).

· Una función es decreciente en un intervalo [a,b] si para cualesquiera puntos del intervalo, x₁y x₂, que cumplan x₁ £ x₂, entonces f(x₁ ) ³ f(x₂ ).

Siempre que de x₁< x₂se deduzca f(x₁) > f(x₂), la función se dice estrictamente decreciente.

FUNC. CREC. Y DECREC. EN PUNTO

· Una función es creciente en un punto a si existe un intervalo abierto

f(x) £ f(a) si x pertenece a (a - e, a) y

f(x) ³ f(a) si x pertenece a (a, a + e).

· Análogamente, una función es decreciente en un punto a si existe un intervalo abierto (a - e, a + e) en el que

f(x) ³ f(a) si x pertenece a (a - e, a) y

f(x) £ f(a) si x pertenece a (a, a + e).

La definición de función estrictamente creciente o decreciente en un punto se obtiene sin más que sustituir el símbolo £ por < y el ³ por el >.

Es preciso diferenciar el significado de función creciente o decreciente en un intervalo del de función creciente o decreciente en un punto.

Ejemplo: estudio del crecimiento y decrecimiento de una función

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Estudiar el crecimiento y decrecimiento de la función y = x² en los puntos

Resolución:

· La función y = x² es estrictamente creciente en el intervalo [0, +¥) puesto que si

Por otro lado, es estrictamente decreciente en (-¥, 0] ya que en este intervalo (al ser números negativos), si x₃ < x₄ Þ x₃² > x₄²(por ejemplo, -7 < -3 y (-7)² > (-3)²). Es estrictamente decreciente en x = 0.

· Nótese cómo en x = 0 la función no es creciente ni decreciente. A la izquierda de este punto es decreciente y a la derecha es creciente.

Como pone de manifiesto este ejemplo, toda función creciente en un intervalo (respectivamente decreciente) es creciente (respectivamente decreciente) en todo punto de ese intervalo.

Recíprocamente, toda función estrictamente creciente (respectivamente decreciente) en todo punto de un intervalo, es creciente (respectivamente decreciente) en todo el intervalo.

Analisis De La Variacion De Funciones

Análisis de la Variación de la Función

Cuando la variación total de cualquier función particular es finita, en ese caso, esa función se conoce como Función de Variación Acotada, que puede ser abreviada como función BV (Bounded Variation por sus siglas en inglés). El gráfico correspondiente de la función BV se dice entonces que se comporta bien en un sentido preciso. La función BV tiene amplias aplicaciones en el campo de las matemáticas, y es utilizada en algunos de los teoremas más importantes, tal como son los Teoremas de Fourier. En el caso de la funciones continuas que contienen sólo una variable, la variación acotada implica la distancia finita cubierta por un punto a lo largo del eje y. Otra clasificación establece que las funciones de variación acotada, tienen la propiedad de intervalo cerrado, son las funciones que se pueden establecer como la diferencia entre dos monótonas acotadas.

La variación Acotada de una función determinada en el intervalo [x, y] puede ser establecida como

Donde S es el conjunto acotado

La variación resulta ser infinita si el conjunto no es acotado. El supremo de S puede ser llamado también como Variación Total o sólo la variación de f y se denota como V (f; x, y) o simplemente V (x).

Existen ciertos teoremas que pueden ser útiles para el análisis de la variación de la función:

1). Si en el conjunto [x, y], la función está incrementando, en ese caso, es la función de variación acotada en el conjunto [x, y] y consecuentemente V [g [x, y]] = g(y) – g(x).

2). Si en el conjunto [x, y] la función es constante, entonces es la función de variación acotada en el conjunto [x, y] y entonces V [g [x, y]] = 0.

Por ejemplo, la función g(r) = c es una función de variación acotada constante en el intervalo [x, y].

| g (r_i) – g (r_i - 1)| = 0 por cada partición del conjunto [a, b]. Por tanto, V (g, [x, y]) = 0.

3) En el conjunto [x, y] si, g y f son las funciones de variación acotada y c es constante, en ese caso

a). g es una función de variación acotada en el intervalo [x, y].

b). g es una función de variación acotada en cada subintervalo cerrado del intervalo [x, y].

c). cg es también una función BV en el conjunto [x, y].

d). g + f y g –f son BV en el conjunto [x, y]

e). gf es también BV en el conjunto [x, y].

Algunos datos más útiles acerca de estas funciones especiales se pueden establecer como que una función de variación acotada se puede expresar también por la divergencia de 2 funciones crecientes.

Del mismo modo, todas las funciones totalmente continuas son de naturaleza BV, sin embargo, no es necesario que todas las funciones continuas BV deban ser totalmente continuas.

La función f puede ser considerada como BV en el conjunto [x, y] si, la derivada de f se encuentra acotada en [x, y]. Además, cuando dos funciones variación acotada se multiplican entre sí, entonces la resultante es también una función de variación acotada.

Hay algunas propiedades básicas que son seguidas por las Funciones de Variación Acotada:

1) Las Funciones de Variación Acotada pueden tener discontinuidad de primer tipo, es decir, discontinuidad de salto.

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ALUMNA:

RAMIREZ CALDERON CINTHIA ARLETTE

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CALCULO DIFERENCIAL

CARRERA:

ING. EN SISTEMAS COMPUTACIONALES

1º SEMESTRE

FRONTERA COMALAPA CHIAPAS, A 23 DE NOBIEMBRE del 2015

DERIVADAS:

En matemática, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.

En terminología clásica, la diferenciación manifiesta el coeficiente en que una cantidad

y\,

cambia a consecuencia de un cambio en otra cantidad

x\,

En matemáticas, coeficiente es un factor multiplicativo que pertenece a cierto objeto como una variable, un vector unitario, una función base, etc.

En física, coeficiente es una expresión numérica que mediante alguna fórmula determina las características o propiedades de un cuerpo.

En nuestro caso, observando la gráfica de la derecha, el coeficiente del que hablamos vendría representado en el punto

P\,

de lafunción por el resultado de la división representada por la relación

\textstyle\frac{dy}{dx}

, que como puede comprobarse en la gráfica, es un valor que se mantiene constante a lo largo de la línea recta azul que representa la tangente en el punto

P\,

de la función. Esto es fácil de entender puesto que el triángulo rectángulo formado en la gráfica con vértice en el punto

P\,

, por mucho que lo dibujemos más grande, al ser una figura proporcional el resultado de

\textstyle\frac{dy}{dx}

es siempre el mismo.

Esta noción constituye la aproximación más veloz a la derivada, puesto que el acercamiento a la pendiente de la recta tangente es tanto por la derecha como por la izquierda de manera simultánea.

Definición como cociente de diferencias

Recta secante entre f(x) y f(x+h).

La derivada de una función

f\,

es la pendiente geométrica de la recta tangente del gráfico de

f\,

x\,

. Sin el concepto que se va a definir, no es posible encontrar directamente la pendiente de la línea tangente a una función dada, porque solamente se conoce un punto en la línea tangente:

(x,f(x))\,

. La idea es aproximar la línea tangente con múltiples líneas secantes que tienen distancias progresivamente más pequeñas entre los dos puntos que cruzan. Cuando se toma el límite de las pendientes de las líneas secantes de esta progresión, se consigue la pendiente de la línea tangente. Se define, pues, la derivada tomando el límite de la pendiente de las líneas secantes, al acercarlas a la línea tangente. Para encontrar las pendientes de las líneas secantes próximas, se elige un número

h\,

relativamente pequeño.

h\,

representa un cambio relativamente pequeño en

x\,

, el cual puede ser positivo o negativo. La pendiente de la recta que pasa por los dos puntos

( x, f(x) ) \,

( x+h, f(x+h) ) \,

es:

Q(h) = {f(x + h) - f(x) \over h}

Inclinación de la secante de la curva y=f(x).

expresión denominada «cociente de Newton».²

La derivada de

f

x

es entonces el límite del valor del cociente diferencial, conforme las líneas secantes se aproximan a la línea tangente:

\displaystyle f^\prime(x) = \lim_{h \to 0} {f(x + h) - f(x) \over h}

Si la derivada de

f \,

existe en todos los puntos

x \,

, se puede definir la derivada de

f \,

como la función cuyo valor en cada punto

x \,

es la derivada de

f \,

x \,

Puesto que sustituir

h \,

por 0 produce una división por cero, calcular directamente la derivada puede no ser intuitivo. Una técnica posible consiste en operar en el numerador, de manera que se pueda cancelar la

h \,

del denominador. Y eso es posible fácilmente en los polinomios. Pero para muchas otras funciones el resultado es incierto. Afortunadamente, hay reglas generales que facilitan diferenciar la mayoría de las funciones simples.

FORMULAS: EJEMPLOS EN EL CUADERNO.

1-.dy/dx=dc/dx=0

esta formula nos dice que todas las constantes con un valor numérico (numero)al momento derivarlas entre dx su valor es 0.

Ejemplo:

Y=5

dy/dx=d(5)/dx=0

2-.df(x)/dx=n x n-1

Ejemplo:

F(x)=x^3

Df(x)/dx=3n^2

3-.C df(x)/dx=Cf¨x

Ejemplo:

F(x)=3x+1 5f(x)=5(3x+1)

D5f(x)/dx=d5(3x+1)/dx=5d3x+1/dx=5(3)=15

4-.de^x=e^x

5-.f(x)+g(x)=df(x)/dx + dg(x)/dx

Ejemplo:

F(x)=2x^3+3 = 6x^2+3

g(x)=7x^2+9x = 14x+9

Resultado de la suma = 6x^2+14x+12

6-.(fg)=fg´+gf´

Ejemplo:

F(x)=5x+6 f´(x)=5

g(x)=3x+1 g´(x)=3

F(x)=[(5x+6)3]+[3x+1)5]

=15x+18+15x+5

=30x+23

7-.(f/g)= gf´-fg/g^2

F(x)=5x+6 f´(x)=5

g(x)=3x+1 g´(x)=3

F(x)=[3x+1)5] - [(5x+6)3]/(3x+1)^2

=[15x+5] – [15x+18]/(3x+1)^2

=15x+5-15x-18/(3x+1)^2

= -13/(3x+1)^2

8-.dy/dx=dy/du * du/dx.

Ejemplo:

f(x)=(x^2+1)

U=x^2+1

du^1/2 /du * dx^2+1 /dx

=[1/2u^1/2-1]*[2x]

=2x(x^2+1)^1/2=2x/2(x^2+1)^1/2= x / /”””x^2+1

9-.f(x)=sen x^2

U=x^2

Du=2x

F(x)=sen u

dy/du * du/dx

=[dsenu /dy] 2x

= cos u * 2

=2x cos u

=2x cos x^2

cinthia arlette

lunes, 14 de diciembre de 2015

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE FRONTERA COMALAPA

CATEDRATICO:

LEON JUAREZ MONICA LAURENT

ALUMNA:

RAMIREZ CALDERON CINTHIA ARLETTE

MATERIA:

CALCULO DIFERENCIAL

CARRERA:

ING. EN SISTEMAS COMPUTACIONALES

1º SEMESTRE

FRONTERA COMALAPA CHIAPAS, A 13 DE DICIEMBRE DE 2015

Recta tangente y recta normal a una curva en un punto. Curvas ortogonales.

APLICACIONES DE LA DERIVADA

Recta tangente y recta normal a una curva en un punto. Curvas ortogonales

Curvas Ortogonales

Teorema de Rolle

Demostración gráfica

Analisis De La Variacion De Funciones

domingo, 22 de noviembre de 2015

Definición como cociente de diferencias

lunes, 14 de diciembre de 2015

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE FRONTERA COMALAPA CATEDRATICO: LEON JUAREZ MONICA LAURENT ALUMNA: RAMIREZ CALDERON CINTHIA ARLETTE MATERIA: CALCULO DIFERENCIAL CARRERA: ING. EN SISTEMAS COMPUTACIONALES 1º SEMESTRE FRONTERA COMALAPA CHIAPAS, A 13 DE DICIEMBRE DE 2015

Recta tangente y recta normal a una curva en un punto. Curvas ortogonales.

APLICACIONES DE LA DERIVADA

Recta tangente y recta normal a una curva en un punto. Curvas ortogonales

Curvas Ortogonales

Teorema de Rolle

Demostración gráfica

Analisis De La Variacion De Funciones

domingo, 22 de noviembre de 2015

Definición como cociente de diferencias

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE FRONTERA COMALAPA

CATEDRATICO:

LEON JUAREZ MONICA LAURENT

ALUMNA:

RAMIREZ CALDERON CINTHIA ARLETTE

MATERIA:

CALCULO DIFERENCIAL

CARRERA:

ING. EN SISTEMAS COMPUTACIONALES

1º SEMESTRE

FRONTERA COMALAPA CHIAPAS, A 13 DE DICIEMBRE DE 2015