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CATEDRATICO:
LEON JUAREZ MONICA LAURENT
ALUMNA:
RAMIREZ CALDERON CINTHIA ARLETTE
MATERIA:
CALCULO DIFERENCIAL
CARRERA:
ING. EN SISTEMAS COMPUTACIONALES
1º SEMESTRE
FRONTERA COMALAPA CHIAPAS, A 23 DE NOBIEMBRE del 2015
DERIVADAS:
En matemática, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.
En terminología clásica, la diferenciación manifiesta el coeficiente en que una cantidad 
cambia a consecuencia de un cambio en otra cantidad 
.
cambia a consecuencia de un cambio en otra cantidad .
En matemáticas, coeficiente es un factor multiplicativo que pertenece a cierto objeto como una variable, un vector unitario, una función base, etc.
En física, coeficiente es una expresión numérica que mediante alguna fórmula determina las características o propiedades de un cuerpo.
En nuestro caso, observando la gráfica de la derecha, el coeficiente del que hablamos vendría representado en el punto 
de lafunción por el resultado de la división representada por la relación 
, que como puede comprobarse en la gráfica, es un valor que se mantiene constante a lo largo de la línea recta azul que representa la tangente en el punto de la función. Esto es fácil de entender puesto que el triángulo rectángulo formado en la gráfica con vértice en el punto , por mucho que lo dibujemos más grande, al ser una figura proporcional el resultado de es siempre el mismo.
de lafunción por el resultado de la división representada por la relación , que como puede comprobarse en la gráfica, es un valor que se mantiene constante a lo largo de la línea recta azul que representa la tangente en el punto de la función. Esto es fácil de entender puesto que el triángulo rectángulo formado en la gráfica con vértice en el punto , por mucho que lo dibujemos más grande, al ser una figura proporcional el resultado de es siempre el mismo.
Esta noción constituye la aproximación más veloz a la derivada, puesto que el acercamiento a la pendiente de la recta tangente es tanto por la derecha como por la izquierda de manera simultánea.
Definición como cociente de diferencias
La derivada de una función 
es la pendiente geométrica de la recta tangente del gráfico de en . Sin el concepto que se va a definir, no es posible encontrar directamente la pendiente de la línea tangente a una función dada, porque solamente se conoce un punto en la línea tangente: 
. La idea es aproximar la línea tangente con múltiples líneas secantes que tienen distancias progresivamente más pequeñas entre los dos puntos que cruzan. Cuando se toma el límite de las pendientes de las líneas secantes de esta progresión, se consigue la pendiente de la línea tangente. Se define, pues, la derivada tomando el límite de la pendiente de las líneas secantes, al acercarlas a la línea tangente. Para encontrar las pendientes de las líneas secantes próximas, se elige un número 
relativamente pequeño. representa un cambio relativamente pequeño en , el cual puede ser positivo o negativo. La pendiente de la recta que pasa por los dos puntos y 
es:
es la pendiente geométrica de la recta tangente del gráfico de en . Sin el concepto que se va a definir, no es posible encontrar directamente la pendiente de la línea tangente a una función dada, porque solamente se conoce un punto en la línea tangente: . La idea es aproximar la línea tangente con múltiples líneas secantes que tienen distancias progresivamente más pequeñas entre los dos puntos que cruzan. Cuando se toma el límite de las pendientes de las líneas secantes de esta progresión, se consigue la pendiente de la línea tangente. Se define, pues, la derivada tomando el límite de la pendiente de las líneas secantes, al acercarlas a la línea tangente. Para encontrar las pendientes de las líneas secantes próximas, se elige un número relativamente pequeño. representa un cambio relativamente pequeño en , el cual puede ser positivo o negativo. La pendiente de la recta que pasa por los dos puntos y es:
.
La derivada de 
en 
es entonces el límite del valor del cociente diferencial, conforme las líneas secantes se aproximan a la línea tangente:
en es entonces el límite del valor del cociente diferencial, conforme las líneas secantes se aproximan a la línea tangente:
.
Si la derivada de existe en todos los puntos , se puede definir la derivada de como la función cuyo valor en cada punto es la derivada de en .
existe en todos los puntos , se puede definir la derivada de como la función cuyo valor en cada punto es la derivada de en .
Puesto que sustituir por 0 produce una división por cero, calcular directamente la derivada puede no ser intuitivo. Una técnica posible consiste en operar en el numerador, de manera que se pueda cancelar la del denominador. Y eso es posible fácilmente en los polinomios. Pero para muchas otras funciones el resultado es incierto. Afortunadamente, hay reglas generales que facilitan diferenciar la mayoría de las funciones simples.
por 0 produce una división por cero, calcular directamente la derivada puede no ser intuitivo. Una técnica posible consiste en operar en el numerador, de manera que se pueda cancelar la del denominador. Y eso es posible fácilmente en los polinomios. Pero para muchas otras funciones el resultado es incierto. Afortunadamente, hay reglas generales que facilitan diferenciar la mayoría de las funciones simples.
FORMULAS: EJEMPLOS EN EL CUADERNO.
1-.dy/dx=dc/dx=0
esta
formula nos dice que todas las constantes con un valor numérico (numero)al
momento derivarlas entre dx su valor es 0.
Ejemplo:
Y=5
dy/dx=d(5)/dx=0
2-.df(x)/dx=n
x n-1
Ejemplo:
F(x)=x^3
Df(x)/dx=3n^2
3-.C
df(x)/dx=Cf¨x
Ejemplo:
F(x)=3x+1 5f(x)=5(3x+1)
D5f(x)/dx=d5(3x+1)/dx=5d3x+1/dx=5(3)=15
4-.de^x=e^x
5-.f(x)+g(x)=df(x)/dx + dg(x)/dx
Ejemplo:
F(x)=2x^3+3 = 6x^2+3
g(x)=7x^2+9x =
14x+9
Resultado de la suma =
6x^2+14x+12
6-.(fg)=fg´+gf´
Ejemplo:
F(x)=5x+6 f´(x)=5
g(x)=3x+1 g´(x)=3
F(x)=[(5x+6)3]+[3x+1)5]
=15x+18+15x+5
=30x+23
7-.(f/g)= gf´-fg/g^2
F(x)=5x+6 f´(x)=5
g(x)=3x+1 g´(x)=3
F(x)=[3x+1)5] - [(5x+6)3]/(3x+1)^2
=[15x+5] – [15x+18]/(3x+1)^2
=15x+5-15x-18/(3x+1)^2
= -13/(3x+1)^2
8-.dy/dx=dy/du * du/dx.
Ejemplo:
f(x)=(x^2+1)
U=x^2+1
du^1/2 /du * dx^2+1 /dx
=[1/2u^1/2-1]*[2x]
=2x(x^2+1)^1/2=2x/2(x^2+1)^1/2= x /
/”””x^2+1
9-.f(x)=sen x^2
U=x^2
Du=2x
F(x)=sen u
dy/du * du/dx
=[dsenu /dy] 2x
= cos u * 2
=2x cos u
=2x cos x^2
